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可转换债券综述（投资分析）
第四章 可转换公司债券投资分析
第一节 可转换公司债券传统分析
一、可转换公司债券最小价值理论
为了研究的方便，我们仅对没有赎回条款、回售条款和强制性转股的可转换公司债券进行分析。现在，我们从两个途径来对可转换公司债券的价值进行评估，其一是将可转换公司债券视为普通债券，不考虑转股，这时可转换公司债券的价值就是各期现金流量的贴现值之和，该值称为可转换公司债券的直接价值（S aight Value）或投资价值（Investment Value）；其二是将可转换公司债券以当前标的股票的价格转换时所能得到的价值，该值称为可转换公司债券的转换价值（Conversion Value）或平价（Parity Value）。
1、转换价值
可转换公司债券的转换价值就是直接转换成股票的价值，其计算公式为
转换价值 ＝ 股票时价 × 转换比率
显然，当转股价格或转换比率未作调整时，转换价值的变化唯一与标的股票价格有关，因此转换价值变化趋势的分析应与标的股票价格的分析相同。例如，如果上海机场的价格为11元，那么其转换价值就是110元，如果股票价格为9元，其转换价值就是90元。一般来说，可转换公司债券的价格不可能低于其转换价值，因为一旦可转换公司债券的价格低于其转换价值，就会出现无风险套利的行为。
2、直接价值
不管可转换公司债券的市场价格如何波动，而到期还本以及每年付息是固定的，那么，可转换公司债券就存在一个相对固定的直接价值，进而影响可转换公司债券市场价格。最明显的例子就是，如果股票价格远远低于转股价格，可转换公司债券转换成股票的可能性就越来越小，在这种情形下，可转换公司债券的价格对股票波动反映也越来越弱，当股价跌到一定幅度，转换价格将会保持在一定水平不再下跌，这个水平就由可转换公司债券的直接价值所决定，通常被称为是可转换公司债券的债券底价（bond floor）。如机场转债，其标的股票价格从2001年4月份的11元左右的水平一直下跌，到10月份已经下跌到8元，下跌幅度为27％，而可转换公司债券价格只从107元下跌到最低98元，下跌幅度只有8％，另外我们也可以发现，当股价从9元左右的水平下跌到8元时，可转换公司债券价格基本上就没有变动，基本上维持在98、99元左右的水平，这个水平从某种程度上就可以说是债券的底价。
3、最小价值原理
对于投资者来说，他总是把可转换公司债券的直接价值与转换价值中最高的一个作为可转换公司债券价值的低限，这是因为：按照相对价值评估准则，可转换公司债券的价值不应该低于等量普通债券和等量标的股票的价值，否则存在套利机会；这也就是说，可转换公司债券的底价是其直接价值与转换价值中的最大者。以机场转债为例，当股票价格为8元的时候，其转换价值为80元，但其债券的直接价值为98元，那么市场上可转换公司债券的交易价格不会80元，而是以债券的直接价值98元为交易价格基础；同样，当股票价格上升到12元的时候，其转换价值为120元，此时就不可能以98元的交易价格进行交易，转换价值才是交易基准。人们通常把该原理称为可转换公司债券的最小价值原理。最小价值原理是我们判断可转换公司债券价值最简单和最便利的方法。
二、可转换公司债券价格特征
1、可转换公司债券价格走势的理论图示
接下来，我们分析可转换公司债券在二级市场中的一些特征。这些特征与股票的价格紧密相关。在具体分析之前，我们把前面所介绍的市场转换溢价率（以下简称溢价率）的公式改写为：
溢价率 =（可转换公司债券的价格 — 转换价值）/ 转换价值.
值得注意的是，这里相应的溢价也有两种不同的表达方式，我们把它们分别称为市场转换溢价和溢价：
市场转换溢价＝市场转股价格－当前的股价
溢价 = 可转换公司债券的价格 — 转换价值
按照股票价格的走势，可转换公司债券的价值大致可以分为三个区域（参照图3－1）：
○高溢价率区域（I区）：如果股票的价格下降，以至于可转换公司债券的转换价值远远低于直接价值，那么可转换公司债券的走势就非常地接近于普通债券的走势，但永远不会低于普通债券的价格，此时该可转换公司债券被称为固定收入等价券（fixed-income equivalent）。
○中溢价率区域（II区）：如果股票的价格逐步上扬，以至于可转换公司债券的转换价值逐步逼近甚至超过直接价值，那么可转换公司债券的走势既取决于股票走势又取决于利率的变化，此时该可转换公司债券被称为混合证券（hybrid security）。可转换公司债券大多数是在这一区域内发行的，可转换公司债券交易者大多也是在这一区域内进行较量的。
○低溢价率区域（III区）：如果股票的价格非常地高，以至于可转换公司债券的转换价值远远地大于直接价值，那么可转换公司债券的走势就非常地接近于普通股票的走势。此时该可转换公司债券被称为普通股票等价券（common stock equivalent）。
可见，以普通股票为基础的转换价值和以普通债券为基础的直接价值（债券底价）应成为可转换公司债券价格的两条渐进线。
普通债券价值
可转换公司债券价值
转换价值
I II III
股票价格
溢价
图4－1 可转换公司债券价格走势的理论图示
毫无疑问，这些区域并没有固定的界限；除了溢价率之外，它还取决于别的参数。但是，投资组合的经理们还是倾向于用溢价率作舍弃点，以决定是继续持有还是立即抛出手中的可转换公司债券。
从传统的观念来看，可转换公司债券还是一个被当作以一定溢价出售的股票。人们之所以购买可转换公司债券而放弃股票，是因为可转换公司债券的利息收入将超过等量股票的股息收入，而这个差额将在一定时期内补足投资者因购买可转换公司债券而承担的溢价。我们把这里的“一定时期”称之为溢价回收期（premium payback period）, 其计算公式为：
溢价回收期 = 溢价 / 年现金流差额
其中
溢价 = 可转换公司债券的价格－转换价值
年现金流差额 = 可转换公司债券面值×利率—转换价值×红利收益率
在分析可转换公司债券为什么比股票更富有吸引力时，溢价回收期是一个非常有用的工具。一般来说，溢价回收期越短，可转换公司债券的投资价值就越大；如果溢价回收期比可转换公司债券不赎回期还要短，那么可转换公司债券的投资价值更是魅力非凡。
2、可转换公司债券溢价情况分析
为什么可转换公司债券的价格往往高于其转换价值，说白点，也就是为什么股票价格10元的时候，机场转债的市场价格不是100元而是102元？归根结底，主要以下两个原因决定的。
第一个原因股息与债券利息的差异，购买可转换公司债券所得到的直接利益就是债券利息，为此放弃了直接购买股票所获得的股息，如果债券利息大于股票的股息，那么投资者就会用高于股票时价的价格购买可转换公司债券，只要所获得的债券利息与股息差能抵销可转换公司债券的溢价水平。
其二可转换公司债券的性质也决定了可转换公司债券溢价情况的出现。我们在前文已经多次提到，不管股票如何下跌，可转换公司债券都有要求发债公司还本付息的权利，因此可转换公司债券持有人一方面可以与股票持有人一样享受股票价格上涨的好处，又可以获得直接投资股票所没有的股票价格下跌保障，因此，可转换公司债券可以被看作是股权投资与损失保险的组合，但是保险是有价值的。回到我们所举的机场转债的例子，如果股票价格为11元时，可转换公司债券的价格为110元，可转换公司债券的价格等于其转换价值，但很明显，相比股票来说，持有可转换公司债券将更为有利。下跌风险的保险将使可转换公司债券更有价值。另一方面从买入期权角度考虑，所支付的溢价可以看作是未来投资人购买公司股票期权的价格，购买者的未来风险被控制在这个期权价格上，因此，投资人之所以愿意支付溢价来购买可转换公司债券，这是购买风险被控制在一定数量的代价。
同样，可转换公司债券价值一般要高于其直接价值，也就是纯债券价值，关键愿意是可转换公司债券持有人获得可以转换成股票的权利，这个权利也是有价值的。如机场转债其债券价值90元，当股价为8元的时候，其转换价值为80元，而机场转债的市场价值可以是98元，98元与90元之间的差值就可以代表未来股价上升投资者获利的可能。
三、传统分析方法举例
我们以2001年2月23日机场转债为例，不考虑其赎回、回售条款，用传统分析方法来分析其价值。
我们首先分析机场转债的底价（机场转债的条款参照表1－1）。
2001年2月23日虹桥机场股票的平均价格为10.071元，机场转债的平均价格为101.30元，对于机场转债来说，其转换价值为：
转换价值 ＝股价×转股比例＝10.071 ×10＝ 100.71元
所以，面值100元的虹桥转债的转换价值为100.71元。
对于机场转债，其每年的现金流是0.8％，因目前没有与虹桥转债相同信贷质量以及期限的可比上市债券，我们暂且将已上市并将于2006年到期的中国国际信托投资公司的债券作为可比债券计算其折现率，我们使用的折现率为4.2％，那么虹桥转债的直接价值为：
由于机场转债的最小值或底价是其转换价值和直接价值中的最大者，因此机场转债的价值为100.71元。
接下来，我们计算机场转债的溢价回收期。我们先计算溢价：
溢价 =可转换公司债券的价格－转换价值＝101.30 — 100.71 = 0.59元
我们再计算年现金流差额：
年利息(扣税后) ＝ 0.0064×100 ＝ 0.64元
转换价值× 股息率（上市以来税后平均股息率）＝ 100.71× 0.592% =0.597元
年现金流差额 ＝ 0.64-0.597＝ 0.0425元
所以，机场转债的溢价回收期为：
溢价回收期 = 0.59/ 0.0425 = 13.88（年）
这也就是说，在不考虑货币时间价值的前提下，投资者收回溢价的时间大约是14年，比机场转债的期限长，因此根据利息和股息的差价，此时的可转换公司债券价格偏高。
四、传统分析方法局限性
传统分析方法在判断可转换公司债券溢价回收期方面存在致命的缺点，一是将可转换公司债券的溢价完全归因于可转换公司债券的利息与股票红利的差值，实际上，利息与红利的差值只是可转换公司债券产生溢价的一个方面，可转换公司债券持有人获得可以转换成股票的权利并享受一定的损失控制才是可转换公司债券产生溢价的关键，因此用这种方法评价可转换公司债券价值，通常会产生低估的现象，尤其是对于我国可转换公司债券，其利息由于上限的限制，可转换公司债券利息对投资者股票红利损失补偿作用并不是很大，但我们不能就此判定可转换公司债券没有投资价值。
第二，传统分析方法采用静态观点判断可转换公司债券回收期，其实存在很多近似因素，因为可转换公司债券的利息是固定的，而股票红利是随着公司的业绩以及分配政策每年都会变化，根据历史股息率来判断有一定未来意义的回收期，存在一定的片面性。一个投资者在进行可转换公司债券的投资过程中，是处于不断变化的市场，在不同的时点上，可转换公司债券的市场价格、溢价水平、股息率、回收期等都是变化的，需要投资者进行必要的分析和比较，决定是购买可转换公司债券还是直接购买股票。因此用传统分析方法判断溢价回收期仅仅是投资者的一种近似的参考。
但是传统分析方法还是为投资者提供了一种非常便捷分析可转换公司债券的方法，通过直接价值、转换价值以及可转换公司债券溢价水平的计算，我们可以粗略衡量可转换公司债券的价值；通过研究股票价格与可转换公司债券价格联动机制，我们可以大致判断可转换公司债券的价格走势，尤其在利用可转换公司债券进行套利交易的时候，传统分析方式是必要的工具。
可以说，尽管传统方法存在一定的局限性，但它提供的一些基本分析思路是进行可转换公司债券投资时最基本的方法。
第二节 可转换公司债券理论定价分析
目前可转换公司债券理论定价有两类模型，一类模型是以Black-Sholes公式为基础，在种种假定条件下，得出可转换公司债券价格近似解析解；另外一类模型则试图将影响可转换公司债券价格的所有因素都考虑进去，也就是所谓的多因素模型，比较常见的多因素模型有二叉数法、有限差分法、蒙特卡罗模拟等，这些方法虽然能处理可转换公司债券价格依赖于状态变量(如股价、无风险利率、市场利率)历史路径及其它的一些较复杂的情形，但是计算量过大、计算效率也偏低，并且对于不同的可转换公司债券，其应用方法也有很大区别。因此对于普通投资者来说，在计算结果的准确性和计算过程简便性两者取舍之间，可转换公司债券Black-Scholes定价方法不啻是较为简单易行的方法。本书主要介绍该方法的运用。
一、可转换公司债券理论价值构成
可转换公司债券是一种混合型的金融产品，从形式上看，可转换公司债券近似于普通公司债券与认股权证的组合体。从可转换公司债券的价值构成来看，可转换公司债券可以被视为普通公司债券与股票买权(Call Option)的组合体。期权（Option）又被称为选择权，它赋予持有者在一定的时期之内购买或出售某种标的资产的权利。按照是购买标的资产还是出售标的资产的权利，期权可分为买权(Call Option)和卖权(Put Option)。按照期权行使的方式，期权可分为美式和欧式期权。美式期权可以在期权到期日之前任何一天行使，欧式期权只能在到期日的当天行使。本文在后面也会阐述，不考虑赎回条款，由于转股规则和套利行为的限制，当可转换公司债券对应的标的股票不支付现金红利或支付的现金红利足够小时，可转换公司债券不会提前转股，所以我们可以得到：
可转换公司债券的价值=债券直接价值＋可转换公司债券包含的欧式买权的价值
令CB为可转换公司债券的价值，B为可转换公司债券中债券部分的价格， C为欧式买权的价格。则有：
CB=B+C
其中C＝K×c, c为单位期权价值，K为转股比例.
二、可转换公司债券债券部分价格确定
公式1
在讨论此问题之前，我们先引入连续支付的复利率(Continuously compounded rate)的概念。出于简化表述和简化计算的考虑，如不作特别声明，本书所提及的利率均是指连续支付的复利率。所谓连续支付的复利率r即复利支付间隔趋于0时相应的利率。根据定义,我们可得到连续支付的复利率r与年实际复利率R的关系式：
即 er-1=R
r=Ln(1+R)
已知连续计算的折现率r和未来时刻T的现金流CT，可以证明，未来现金流的现值C= CT e-rt,其中t为贴现的年数。
公式2
假定发债的公司无破产风险和拖息风险，直接将债券部分未来的现金流折现即可得到可转换公司债券中债券部分的价格：
其中， Di 为i时刻的现金流
ri 为期限为i年的折现率，即相同信用等级债券的年复利率
ti 为第i笔现金流的折现时间
由于我国可转换公司债券基本上都是付息债券，考虑复利率的债券定价方法与普通债券定价方法是完全一致的，投资者可以不仿将复利率公式代入债券现金流折现公式，得出的结果应该是相当普通和常见的，引入复利率概念主要是为了与下文的期权定价一致。
三、可转换公司债券期权部分定价
假定不考虑可转换公司债券方案中的赎回条款、同时假定可转换公司债券对应的股票不支付红利或支付的红利足够小，可转换公司债券不会被提前转股，我们就可以把转换债券中普通债券部分的价值视为常数，可转换公司债券的定价就取决于欧式买权C的定价。由此，下面主要转入对买权尤其是欧式期权的定价分析。
（一）有关期权的基本概念
期权是一种延后交割的合同，合同的买方有权利但并无义务在未来特定日子或之前，以特定的价格买进 (买权) 或卖出 (卖权) 特定数量之商品或证券，买权的买方有权利在约定期间内，以约定的履约价格，买入约定价格的标的物；反之，买权的卖方则有应买方要求履行卖出的义务。期权合同的特点是在合同执行上双方当事人在权利义务关系上的不平等。当然，期权合同买方的这种单方面权利不是无条件得到的。为了补偿卖方的单方面义务，期权买方向卖方支付一笔报酬，这笔报酬称为期权的价格。期权的价格与期权的执行价格、数量、到期日、标的产品一起构成了期权合同的五要素。
1、期权合同价格的构成
期权合同价格由期权内在价值和时间价值两部分组成。
（1）期权的内在价值
期权的内在价值是指其持有者可以马上实现的利润。一个买权的内在价值等于标的产品的现货价格高出合同中规定的执行价格的部分。在标的产品的现货价格等于或低于买权的执行价格的时候，买权的所有者不会实施其购买权利，这些买权的内在价值等于零。令S为标的产品的现货价格，X为期权的执行价格，则买权的内在价值为max(S-X,0)。
一个卖权的内在价值等于合同中规定的执行价格高出标的产品的现货价格的部分。在标的产品的现货价格等于或高于买权的执行价格的时候，卖权的所有者不会实施其出售权利，这些卖权的内在价值等于零。因此卖权的内在价值为max(X-S,0)。
（2）期权的时间价值
期权的时间价值是指在期权合同的有效期内，期权的内在价值的波动给予其持有者带来收益的预期价值。值得注意的是，期权的时间价值给予其持有者带来的预期收益只是一种统计上的期望值，没有任何因素可以保证这一预期收益能转化为实实在在的利润归期权的买主所得。当期权的执行价等于标的产品现货价的时候，期权的时间价值最大。随着执行价与标的产品现货价之间的距离的增大，期权的时间价值将不断下降。期权在到期的时候，其时间价值不复存在。
2、期权价格的上下限
（1）买权价格的上限
在任何情况下，买权的价值都不会超过股票的价值。因为如果不存在这一关系，则套利者购买股票并卖出买权，可轻易获得无风险利润。
（2）买权的下限
不付红利的买权的下限为：
S- Xe-r(T-t)
证明：考虑下面两个组合，
组合A：一个欧式买权加上金额为Xe-r(T-t)的现金。
组合B：一股股票。
在组合A中，现金如果按无风险利率来投资，则在T时刻将变为X。令ST为T时刻股票的价格，如果ST大于X，在T时刻应执行买权，则组合A的价值为ST。如果ST小于X，期权到期价值为零，则组合A的价值为X。因此在T时刻，组合A的价值max(ST,X)。
在T时刻组合B的价值为ST。因此在T时刻组合A的价值通常不低于组合B的价值，并且有时会高于组合B的价值。因此，在不存在套利机会的情况下，下列不等式是成立的：
c+ Xe-r(T-t)≥S
所以 c≥S- Xe-r(T-t)
又因为 c>0
故 c>max(S-Xe-r(T-t),0)
用D表示在期权有效期内红利的现值，则
付红利的买权的下限为：
S-D-Xe-r(T-t)
考虑组合C：欧式买权加上金额为D+Xe-r(T-t)的现金和组合B。
经过类似的推导就得出以上推论。
（3）卖权的下限
不付红利的欧式卖权的下限为：
Xe-r(T-t)-S
证明：考虑下面两个组合，
组合E：一个欧式卖权加上一股股票。
组合F：金额为Xe-r(T-t)的现金。
如果ST小于X，在T时刻组合E中的期权将被执行，该组合的价值为X。如果ST大于X，在T时刻期权价值为零，该组合的价值为ST。因此组合E在T时刻的价值为max(ST，X).假定现金按无风险利率进行投资，则在T时刻组合F的价值为X。因此在T时刻组合E的价值通常不低于组合F的价值。因此，
p+S≥Xe-r(T-t)
即 p≥Xe-r(T-t)-S
又因 p>0
故 p≥max(Xe-r(T-t)-S, 0)
付红利的欧式卖权的下限为:
D+Xe-r(T-t)-S
证明:考虑组合J( 金额为 D+ Xe-r(T-t)的现金)和组合E。
经过类似的推导就得出以上推论。
4、买权与卖权之间的关系
不带红利的欧式买权和卖权之间的平价关系（Put-call Parity）为：
c+Xe-r(T-t)=p+S
证明：考虑组合A和E，在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST，X),由于是欧式期权，所以在到期日前不能提前执行。因此，现在组合必须有相等的价值。即上述平价关系的等式成立。
它表明，具有某一确定执行价格和到期日的欧式卖权的价值可根据相同执行价格和到期日的欧式买权的价值推导出来。所以，我们只需对欧式买权作重点讨论。
带红利的欧式买权和卖权之间的平价关系为：
c+D+Xe-r(T-t)=p+S
证明：考虑组合C和E，根据类似的推导就得出结论。
（二）期权定价的有关参数和假定前提
期权作为一种派生金融产品，其价格是以所对应的标的股票的价格为基础、受股票价格的波动率及无风险收益率等参数的影响。因此，在论述期权定价之前，我们需要先对某些相关参数的含义、对股票价格的波动过程作必要的阐述。
1、股票价格波动率(Stock Price Volatility)
股票价格波动率 被定义为股票收益率(股票价格变动比例)的标准差，它反映了股票价格的“发散”程度。从理论上讲，可转换公司债券的价格受可转换公司债券存续期间标的股票波动率的影响；但是，事后的波动率事前并不能准确得知。在实际操作过程中，除了用已知派生证券的价格和其定价公式倒推“隐含波动率”(Implied Volatility)之外，一个常用的方法是用标的股票历史的波动率来替代将来派生证券存续期标的股票的波动率。具体计算年波动率的方法如下：
假定： n: 连续观察的交易日数
Si：在第i个交易日末的股价
令：
其中： i=1，2，…，n
则 的估计值为：
其中： 为ui的均值
N为年交易天数
全球股票市场的波动率平均约20％左右，亚洲偏高在30％左右，由于我国证券市场是新兴市场，因此每年的股票波动率变化幅度较大，以上证综指为例，1992年股票波动率高达96％，1993年下降到60％，到2000年只有34％，波动幅度非常大，但总体下降趋势是明显的。
2、无风险利率：
无风险利率是指投资者能够按此利率进行无风险借贷的利率，在推导期权定价模型时我们假定无风险利率为常数，且对任何到期日都相同。在实际定价过程中，无风险利率随期权的期限而变化，因此在确定具体无风险利率的时候，理论界存在一定的分歧，一种观点是用短期国债利率作为无风险利率，第二种观点是利用利率期限结构中的远期利率估计无风险利率，第三种观点是用即期的长期国债利率作为无风险利率。从理论上与直观上来说这三种观点都是合理的，第一种观点认为短期国债利率是未来短期利率的合理预期，第二种观点则着眼于远期利率在预测未来利率中存在的优势；第三种则认为长期国债与标的资产具有相同的到期期限。根据我国实际情况，最合理体现短期国债利率的就是债券回购利率，但由于该利率市场变动幅度过大而很难得出精确数值，另外由于我国实行固定利率制，第二种无风险利率估算方法也无法应用。因此本文采用第三种方法，即以长期国债利率作为无风险利率，并将其转换成连续复利率。
3、股票价格所遵循的随机过程
（1）通常假定，股票价格遵循马尔科夫过程（Markov Process）。
马尔科夫过程是一种特殊类型的随机过程，该过程中只有变量的当前值与预测未来相关，变量以往的历史和演变路径都与预测未来无关。股价的马尔科夫性质与市场的弱有效性（the weak form of market effciency）相一致。按法马（Fama）的定义，所谓市场的弱有效性即股票的现价已经包含了所有的信息，投资者无法通过对股价过去历史的分析获得超额利润。国内许多研究已经表明，随着我国股市的大规模扩容、投资者的成熟及技术分析越来越广泛的使用，对沪深股市弱有效性的判断是可以成立的。
（2）更进一步，通常假定，股票价格的变化比例遵循一般化的“维纳过程”（Generalized Wiener Process）。
维纳过程也被称为“布朗运动”（Brownian motion），它是马尔科夫随机过程的特殊形式。在任意长度为T的时间间隔内，遵循维纳过程的随机变量值的增加具有均值为0，标准差为 正态分布。
变量S的一般化维纳过程用dz定义如下：ds=adt+bdz。
其中，dz是维纳过程，a和b为常数
可见，任意时间T之后，随机变量S值的变化具有正态分布，其均值为aT,标准差为b 。
经大量经验数据的验证，通常情况下，满足弱有效性的股票市场，其股票价格的变化比例遵循一般化的维纳过程，即：
dS/S=μdt+σdz （1）
其中，S是股票价格，μ是以连续复利计算的股票的预期收益率，σ是股票收益率的标准差，也被称为股票价格波动率（Stock Price Volatility）。方程（1）是描述股价最广泛使用的一种模型。
方程(1)表明：
S/S～ ( , ) （2）
其中 (m，s)表示均值为m，标准差为s的正态分布。
例：一种股票，波动率为每年50％，连续复利计算的预期收益率为30％，则股票价格满足以下方程：
dS/S=0.3dt+0.5dz
假定股票的初始价格为10元，则半年之后（△t＝1/2）股价的变动量为：
其中 是从标准正态分布的随机抽样值。
（三）Black-Scholes公式
Black-Scholes公式是期权定价最常用的模型，该模型主要用于对欧式期权的定价，其基本理论假设为：股票价格变动比例遵循一般化的维纳过程，允许适用全部所得卖空衍生证券，没有交易费用和税收，不存在无风险套利的机会，无风险利率为常数且对所有到期日都相同。Black-Scholes公式的基本思想在于：派生证券的价格和股票的价格都受同一种基本的(Underlying)不确定因素的影响，二者遵循相同的维纳过程。如果建立一个包含恰当的派生证券头寸和股票头寸的证券组合，可以消除维纳过程，股票头寸与派生证券头寸的盈亏也将相互抵消。由于该证券组合为无风险的证券组合，在不存在无风险套利机会的情况下，该证券组合的收益应等于无风险利率，由此可得到包含派生证券价格的Black-Scholes微分方程：
其中， c 为期权的价格
S 为股票的现价
r 为连续复利计算的无风险收益率
σ 为波动率
该方程一个极重要的性质就是消去了预期收益率μ，从而不包含任何反映投资者风险偏好的变量。由于风险偏好对期权的解不产生影响，我们可以提出一个简化的假定：所有投资者都是风险中性的。这样，通过风险中性定价，我们将未来世界期权的期望值用无风险利率折现就可得到期权的现值。
在风险中性的情况下，欧式买权到期日的价值为：
E【max(ST－X,0)】 其中 X为期权的执行价格
E【】表示期望值
ST为到期日股票的价格
将未来的期望值用无风险利率贴现可得到期权的现值
c＝e-rtE【max(ST－X),0】 (3)
由方程(2)， S/S～ ( , )
假定股价服从对数正态分布，由ITO定理，
lnST ～ [ ] ， (4)
对方程(3)右边求值相当于已知ST的密度函数在X到￥的区间求ST－X的积分。由(3)和(4)可得：
c ＝SN（d1）－Xe-r（T-t）N（d2） (5)
其中 c: 欧式买权的价格
d1 ＝
d2 ＝
S： 股票的现价
X： 买权的执行价格
N(x)： 标准正态分布变量的累计概率分布函数，即该变量
小于X的概率。
T： 期权的到期时间
t： 现在的时间
四、可转换公司债券定价实例分析
本书以机场转债为例，用Black-Scholes 模型对2001年2月23日可转换公司债券价格进行估算。
1、机场转债价值构成
在机场转债条款中，直接影响可转换公司债券价值的条款有：债券面值、利率和期限、转股价、转换期、特别向下修正条款、提前赎回条款、回售条款等，为了讨论方便起见，我们暂且忽略特别向下修正条款、提前赎回条款以及回售条款三个因素，如此可以将机场转债的价值定为：
机场转债理论价值＝债券直接价值＋欧式买权价值
2、债券直接价值
对于机场转债，其债券特性是每年付息0.8％，4年后到期还本付息的债券，那么此种债券，按照当前4年期企业债券（因目前没有与虹桥转债相同信贷质量以及期限的可比上市债券，我们暂且将已上市并将于2006年到期的中国国际信托投资公司的债券作为可比债券）复利4.2％的折现率水平，以连续复利折现到现值，即：
连续复利＝ln（1+0.042）＝0.041
直接价值＝0.8＋0.8e-1×0.041＋0.8e-2×0.041＋0.8e-3×0.041＋100.8e-4×0.041＝88.57
也就是机场转债作为普通债券，其价值为88.57元。
3、欧式买权价值的一些参数
我们在计算机场转债欧式买权价值的时候，首先要确定一些参数：
可转换公司债券面值＝100元
债券存续期T－t＝4年
无风险利率（10年国债利率）＝3.05%，连续无风险利率＝ln(1+3.05%)＝0.03
2001年2月23日股票平均价格S＝10.071元
转股价格X＝10
股票价格波动率σ＝0.16（计算方法如下）
n: 连续观察的交易日数
Si：在第i个交易日末的股价
令：
其中： i=1，2，…，n
则 的估计值为：
其中： 为ui的均值
N为年交易天数
我们选用2001年2月23日前近90天交易日机场转债标的股票上海机场的收盘价来估算上海机场股价的波动率：
σ＝0.16
4、Black-Sholes方法
根据Black-Sholes公式
c=SN（d1）－Xe-r（T-t）N（d2）
d1=
d2=
将有关值代入可得；
c＝1.8984
如此我们可以得出机场转债的理论价值为：
机场转债理论价值＝债券直接价值＋欧式买权的价值
＝88.57＋1.8984×10＝107.55元
5、提前赎回条款、特别向下修正条款和回售条款对转债的价值影响
机场转债提前赎回条款规定，当机场转债发行半年年之后,如果上海机场股票在股票在任何连续40个交易日中有至少30个交易日的收盘价不低于该30个交易日内生效转股价格的130％，发行公司有权按面值加上在赎回当日的应计利息赎回机场转债。由于这个条款主动权在发行公司，实际上这个条款只起到加速转股的作用，原则上来说，在可转换公司债券发行初期执行的可能性较小。但这个条款从一定程度上限制了机场转债130元价格的顶值，对发行人来说其实也是一个买权，我们上面所计算的可转换公司债券理论价值应该减去发行人这个买权的价值。
另外根据机场转债的特别向下修正条款，在机场转债的存续期间，当任何1个月本公司股票收盘价格的算术平均值不高于当时转股价格的80％时，发行公司可以降低转股价格，但降低幅度不超过20％，而且降低后的转股价格不低于降低前一个月本公司股票价格的算术平均值，在股价极度低迷的时候，这个条款对投资者是有利的。回售条款同样如此，投资者在2004年8月25日可将可转换公司债券以面值的107.18％回售给发行公司，因此对于投资者来说，这两个条款本身实际上赋予投资者一种卖权，因此我们上面所计算的可转换公司债券理论价值应该加上卖权的价值。
从以上分析可以看出，机场转债的价值应等于：
债券直接价值＋欧式买权价值＋回售权价值＋特别向下修正权价值－发行公司赎回权损失
因此如果考虑这三个条款，提前赎回条款将使我们上述计算的理论价值往下调整，特别向下修正条款和回售条款则使价值往上调整，因此一定程度上会中和对转券价值的影响。
实际上，可转换公司债券的定价是一个相当复杂过程，但是通过以上简单的分析，我们大致可以对机场转债的理论价值作出一些基本判断。
五、Black-Scholes定价方法的局限性
1997年诺贝尔经济奖授予了罗伯特·默顿（Robert Merton），和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes），以奖励他们和费歇尔·布莱克（Fisher Black）在确定衍生证券价值方法方面的贡献，也就是上文所用到的著名的期权定价Black-Sholes公式。该公式使得投资者使用金融计算器就可对复杂的金融产品进行简单定价，从而造就了衍生金融产品市场的形成和广泛。我们采用Black-Sholes公式来对可转换公司债券这一复杂金融品种进行定价，虽然较为直观便捷，但是由于过于简化，存在一定的局限性。
1、价值分拆存在较多的假设前提
将可转换债权硬性分拆为两个部分，债券部分和股票期权部分，虽容易理解，但忽略了可转换公司债券其他嵌入期权性质，如回售、赎回等，这些往往是可转换公司债券的重要性质，即使考虑这些条款，但将这些因素简单相加也还是有问题，因为它们并不是独立的，各种因素之间也会相互作用和影响。因此Black-Scholes公式适用于条款非常简单的可转换公司债券定价。
2、欧式期权的缺陷
由于可转换公司债券赋予投资者在一定时间的转换期内都具有可转可不转的权利，从美式期权角度对其定价应该说是最合适的，但是为了分析和计算的方便，而忽略了其他种种因素，如股票红利、赎回等，将可转换公司债券认定为到期转股，用欧式期权来对其定价，存在相当多的近似因素，
3、期权执行价格固定
Black-Schole公式中期权的执行价格就是可转换公司债券到期时的转股价格，在公式中这个数值是固定的，也就是使用该公式的前提就是认定可转换公司债券的到期价格就是其面值，实际上，对于可转换公司债券，到期时股票期权的执行价格往往并不是转股价格。如机场转债，由于还本付息的因素，到期时的价值肯定不是100元，而是100.8元，此时期权执行价格是10.08元，而不是10元。
即使我们将到期利息考虑进去，将10.08元作为期权执行价格，也还是存在一定问题，因为可转换公司债券的期权性质与普通股票期权还有很大差别，对于普通股票期权来说在其存续期内每个时点执行价格是固定的，而可转换公司债券固定的只是转股比率，其在每个时点上的执行价格实质上是根据可转换公司债券的市场和利率情况确定的，除非是到期转股，执行价格事先是未知的。
4、忽略信用风险
因可转换公司债券兼具债权与股票期权之特性，使得它在某些时候亦与一般债权一样面临公司无法完全清偿的风险，虽然我们定价其直接价值的时候在折现率选择时考虑过信用风险，但在用Black-Scholes公式进行期权部分定价时，却割裂了股价与信用风险之间的关系。
实际上，可转换公司债券的理论定价是一个相当复杂的系统工程，我们需要利率、违约风险等诸多因素加以考虑，并且对于不同特性的可转换公司债券品种，也要制定不同的定价基础，而Black-Sholes公式虽有很大局限性，但其直观和便利的特点还是能够给予投资者一定的参考和帮助。
第三节 影响可转换公司债券价值的主要因素
影响可转换公司债券价值的因素很多，以下我们从几个比较重要因素着手，分析其作用于可转换债券价格的机理。
一、发行公司经营业绩
可转换公司债券作为发行公司向社会公众筹集资金的有价证券的凭证，代表了发行公司获取利润的能力和增长潜力，因此同股票一样，公司的经营业绩是影响可转换公司债券最本质的因素。该公司业绩成长性越好，股票价格的成长性就越好，可转换公司债券的价值越高。发行公司业绩下滑，可转换公司债券的价值也会降低，如果发行公司业绩下滑到出现信用危机，此时可转换公司债券则隐含着巨大的风险。
二、期限
期限对可转换公司债券的影响较为复杂，我们主要从两个方面考虑，一是从纯债券角度，对于相同的票面利率、相同的信用等级的两只可比债券来说，期限越长，其折现到现在的价值越低；二，从可转换公司债券赋予投资者转换成股票这个角度，很显然，一只期限还有几年的可转换公司债券肯定比期限只有几个星期的可转换公司债券有更多价格上涨机会，可转换公司债券的期限越长，获得转换的机会以及股票增长的机会就越大，其股票期权的价值也就越大，期限较短，尤其是在长期熊市过程中，很难找到转换升值的适当机会。由此看来期限对可转换公司债券价值的影响是其债权性质和股票期权性质共同作用的结果，当股价与转股价水平相当的时候，往往这种影响呈现抛物线的形状，即当期限延长的时候，可转换公司债券价值主要受期权价值的作用，随着期限的延长而增加，而当期限延长到一定的程度时，可转换公司债券价值受债券价值的作用，价值将回落。
三、发行规模
发行规模虽然表面上对可转换公司债券的价值影响较小，但由于可转换公司债券的发行规模关系到发行公司的未来盈利水平，因此其间接作用也是不可忽视的。实际上，发行规模的确定也是一种两难的取舍，发行规模越大，发行公司获得了资金越多，就越有可能从中获得更高的利润，股票和可转换债券就越有升值的可能，而发行规模越小，可转换公司债券转股所增加的股本对未来业绩稀释就越小，可转换公司债券的价值就越高。因此对于发行公司和投资者来说，应该有一个最优发行规模的概念。
四、利率水平
我们主要探讨三种利率的影响：
1、票面利率
票面利率是可转换公司债券投资者的基本回报，也是可转换公司债券投资价值的保底价值指标，在其他条件相同的情况下，票面利率与可转换公司债券价值成正向关系。
2、市场利率
市场利率与可转换公司债券的价值成反向关系，市场利率越高，意味着投资可转换公司债券收益降低，可转换公司债券的投资价值就越低，反之，市场利率越低，可转换公司债券的投资价值也就越高。当然这种影响在不同情况下，效果是不一样的，当股票价格远高于转股价格的时候，可转换公司债券几乎不受市场利率变动影响，但若股价较低时，可转换公司债券就如普通债券一样，对于市场利率变动非常敏感。
3、无风险利率
无风险利率增加意味着整个经济中的利率增加，此时，股票价格的预期增长率也倾向于增加，因此股票买权的价值就增加。然而无风险利率的增加同时也意味着股票买权持有者收到的未来现金流的现值将减少，这将减少股票买权的价值。理论上已经证明了，前者的影响将起主导作用，即随着无风险利率的增加，股票买权的价格总是随之增加，拥有股票买权性质的可转换债券的价值也增加。
五、标的股票
可转换公司债券的标的股票是影响可转换公司债券价值最直接的因素。
1、标的股票价格
我们在前面已经阐述了可转换公司债券价值与标的股票的关系，并用“可转换公司债券价格走势的理论图示”来表述，可以看出，股票价格与可转换公司债券的价值趋势是一致的，股票价格低，可转换公司债券的价值也低；股票价格上升，可转换公司债券的价格也随着上升。当股票价格处于较低位置的时候，可转换公司债券的价格下跌幅度明显小于股票价格的下跌幅度，这是因为可转换公司债券具有固定收益债券的性质，可转换公司债券的票面利率提供了下跌的支撑作用，阻止了可转换公司债券价格的继续下跌。
2、标的股票价格波动率
从数学角度，股票波动率是股票价格变动的标准偏差，股票价格波动率反映的是某段时间股票价格偏离其平均价格的程度，它用来衡量股票价格变动的不确定性。例如1999年雀巢股票年波动率为20％，可口可乐股票年波动率为34％，亚马逊股票年波动率为123％，这说明亚马逊股票价格不确定程度要远远高于可口可乐和雀巢。较高的股票波动率意味着股票更多的上涨可能，当然也意味着更多的下跌可能，但是由于可转换公司债券对股票下跌的保护机制，所以可转换公司债券持有人将会从高波动的股票中获利。如亚马逊股票的波动率是雀巢的6倍，亚马逊转债的持有人因此比雀巢转债有更多的获利机会。全球可转换债券市场IT行业的可转换公司债券往往受到投资者的欢迎，这点不能不与其较高的股票价格波动率有很大关系。股票价格波动率是决定可转换公司债券价值的一个决定性因素。
3、股票红利
一般情况下，可转换公司债券的转股价格不因股票红利而作调整，因此在正常情况下，可转换公司债券的持有人不能享受股票所带来的红利，股票红利越高，除息日后股票价格因红利因素下降得也越多，可转换公司债券的价值就越低。可转换公司债券的价值，与预期红利的大小成反向变动。
六、转股价格
发行可转换公司债券时所制定的转股价格既体现了公司的经营业绩，也代表着可转换公司债券的投资价值，通常初始转股价格比股票价格要高，这个溢价水平的高低取决于公司未来增长的预期以及过去的经营业绩，经营业绩好的公司其转股价格的溢价水平可能更高些，效益较差的公司溢价水平会低点，对于同一可转换债券，在其他条件不变的情况下，转股价格越高，股票买权执行价格就越高，股票买权价值就低，可转换公司债券的价值就越低。
另外转股价调整也是影响可转换公司债券价值的一个非常重要的因素，虽然该条款是容易被人忽视的条款，但是如果发行公司执行转股价调整的条款的话，可转换公司债券有可能会产生阶跃性价值变化，而且依据不同的调整准则，对可转换公司债券价值的影响也是不同的。
1、除权调整
当股价出现除权情况时，转股价格要调整，但是采用不同的调整公式对可转换公司债券价值影响是不一样的。我们在可转换公司债券要素中已经阐述了常用的两种调整公式：
公式一：
公式二：
从规范运作的角度来看，合理的转股价调整公式应该维持可转换公司债券投资者与发债公司的相对利益关系，使得除权前后股价与转股价的溢价比例、可转换公司债券的转换价值保持不变，使得100×除权前的股价/调整前的转股价＝100×除权后的股价/调整后的转股价。
根据：
除权后的可转换公司债券转换价值＝100×除权后股价/调整后的转股价
不难证明，公式一计算出来的除权后可转换公司债券转换价值＝100×股票时价/调整前转股价，等于除权前转换价值，因此可转换公司债券价格应不变。
而对于公式二，情形则有很大不同:
除权后可转换公司债券转换价值
因此只有当股票时价等于调整前转股价格的时候，股票除权后的可转换公司债券转换价值才等于除权前的可转换公司债券转换价值；而当股票时价高于调整前的转股价格的时候，那么除权后可转换公司债券的价值就低于除权前可转换公司债券价值，因此可转换公司债券价格就会下降；当股票时价低于调整前的转股价格的时候，除权后可转换公司债券的价值就高于除权前可转换公司债券的机制，对可转换公司债券投资者有利。
我们举例来说明，如果一个公司原股本为2亿元，现发行1亿元新股，发行价9元，此时的转股价为10元。
情况一：当股票时价10元时，除权前可转换公司债券的转换价值为100元，除权后的股票价格为9.67元
公式一和公式二计算的调整后转股价格＝10×（2＋1×9/10）/3=9.67元
因此，除权前后的可转换公司债券的转换价值都等于100元。
情况二：当股票时价11元时，除权前可转换公司债券的转换价值为100×11/10＝110元，除权后的股票价格为10.33元
公式一计算的调整后转股价格＝10×（2＋1×9/11）/3＝9.39元
公式二计算的调整后转股价格仍是9.67元
因此公式一计算的除权后可转换公司债券的转换价值＝100×10.33/9.39＝110元，等于除权前可转换公司债券的转换价值，而公式二计算的除权后可转换公司债券的转换价值＝100×10.33/9.67＝107元，低于除权前的可转换公司债券转换价值。
情况三：当股票时价9元时，除权前可转换公司债券的转换价值为100×9/10＝90元，除权后的股票价格为9元
公式一计算的调整后转股价格＝10×（2＋1×9/9）/3＝10元
公式二计算的调整后转股价格仍是9.67元
因此公式一计算的除权后可转换公司债券的转换价值＝100×9/10＝90元，等于除权前可转换公司债券的转换价值，而公式二计算的除权后可转换公司债券的转换价值＝100×9/9.67＝93元，高于除权前的可转换公司债券转换价值。
由此看来，公式一的调整方式远比公式二合理，当可转换公司债券转股价因股份发生变动而发生调整时，如采用公式一，可转换公司债券的价值不会发生变化，如采用公式二，当股票时价高于调整前转股价格时，股票除权后可转换公司债券价值就会下降，而当股票时价低于调整前转股价格，可转换公司债券的转换价值就会上升，但是值得注意的是，当股票时价低于转股价格的时候，可转换公司债券的价值更多的体现其债券的价值，转换价值对其可转换公司债券的实际价值影响已经不大了。
2、转股价向下调整
可转换公司债券的特别向下调整条款在特定的情况下将转股价格向下调整，使得可转换公司债券持有人所拥有的股票买权的执行价格也向下调整，转股可能性提高，因此有利于可转换公司债券的持有人，可转换公司债券的价值也随之提高。
七、赎回条款
虽然赎回条款往往只起到加速转股的作用，但无论如何，赎回条款的受益人都是发行公司，不论是硬赎回还是软赎回，赎回条款都限制了可转换公司债券的最高回报率，因此某种程度上限制了可转换债券的最高价值。
八、回售条款
通常情况下，回售收益率要高于票面利率，因此回售条款无疑大大增加了可转换公司债券的价值，在股票价格持续低迷的情况下，这个价值尤其具有意义。但是在取得高回售收益率的同时往往意味着较低的票面利率，因此，对于投资者来说，在回售日之前所得的收益可能较低。
实际上，影响可转换公司债券的因素很复杂，而且各个因素是相互联系的，可转换公司债券的投资价值最终是投资人和发行人利益通过市场这个平台相互制约和相互妥协的结果。
